Kovaryans Nedir?

Kovaryans, iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü anlatan temel bir ölçüdür. Korelasyon, temel bileşenler analizi ve portföy kuramı gibi pek çok yöntemin yapı taşlarından biridir.

Kovaryans nedir?

Örneklem kovaryansı şöyle hesaplanır:

Cov(X, Y) = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / (n − 1)

Her gözlemde iki değişkenin kendi ortalamasından sapmaları çarpılır ve bu çarpımların ortalaması alınır.

• İki değişken birlikte ortalamanın üstündeyse ya da birlikte altındaysa çarpım pozitiftir.
• Biri üstünde, diğeri altındaysa çarpım negatiftir.
• Bu çarpımların toplamı ilişkinin genel yönünü belirler.

Örnek hesaplama

Varsayımsal üç öğrencinin çalışma saati (X) ve puanı (Y): (2, 60), (4, 70), (6, 80).

1. Ortalamalar: x̄ = 4, ȳ = 70
2. Sapma çarpımları: (−2)(−10) = 20, (0)(0) = 0, (2)(10) = 20
3. Toplam = 40; n − 1 = 2
4. Kovaryans = 20

Sonuç pozitiftir; çalışma saati arttıkça puan da artma eğilimindedir.

Nasıl yorumlanır?

Kovaryansın işareti anlamlıdır, ama büyüklüğü doğrudan yorumlanamaz. Çünkü değer, değişkenlerin birimine bağlıdır: Aynı veri saat yerine dakikayla ölçülürse kovaryans 60 kat büyür. Bu yüzden ilişkinin gücünü görmek için kovaryans standart sapmalarla ölçeklenir ve korelasyon katsayısı elde edilir.

Nerelerde kullanılır?

• Kovaryans matrisi: Çok sayıda değişken arasındaki tüm ikili kovaryansları bir tabloda toplar. Temel bileşenler analizi bu matrisin özdeğer ve özvektörlerinden yararlanır.
• Çok değişkenli normal dağılım: Değişkenlerin birlikte nasıl yayıldığını kovaryans matrisiyle tanımlar.
• Finans: Varlık getirileri arasındaki kovaryans, portföy riskinin hesaplanmasında kullanılır; geçmiş veriye dayandığı için geleceği garanti etmez.

Kovaryansın sıfır olması doğrusal ilişki olmadığını gösterir; ancak doğrusal olmayan bir ilişki yine de bulunabilir.