İçeriğe geç
parazade
Yapay Zeka

Tekil Değer Ayrışımı Nedir?

İngilizce: Singular Value Decomposition

Yayın: · Son güncelleme:

Tekil Değer Ayrışımı Nedir? Kısaca

Tekil değer ayrışımı (SVD), herhangi bir matrisi iki dik (ortogonal) matris ile bir köşegen tekil değerler matrisinin çarpımı olarak yazan bir doğrusal cebir yöntemidir; boyut indirgeme, sıkıştırma ve öneri sistemlerinde yaygın kullanılır.

Tekil Değer Ayrışımı nedir?
İçindekiler
  1. Tekil değer ayrışımı nedir?
  2. Kesik SVD ve boyut indirgeme
  3. Nerelerde kullanılır?
  4. Nelere dikkat etmeli?

Tekil değer ayrışımı (Singular Value Decomposition, SVD), doğrusal cebirin en kullanışlı araçlarından biridir. Bir veri tablosunu, yani bir matrisi, daha basit ve anlamlı parçalara ayırır.

Tekil değer ayrışımı nedir?

Her matris A için şu yazılabilir:

A = U · Σ · Vᵀ

  • U: Satırlara (örneğin kullanıcılara) ait yönleri içeren dik matris.
  • Σ (sigma): Köşegeninde negatif olmayan tekil değerlerin büyükten küçüğe sıralandığı matris.
  • Vᵀ: Sütunlara (örneğin ürünlere) ait yönleri içeren dik matrisin devriği.

Tekil değerler, her bileşenin veride ne kadar "ağırlık" taşıdığını gösterir. Büyük tekil değerler önemli yapıları, küçükler daha çok ayrıntı ya da gürültüyü temsil eder.

Kesik SVD ve boyut indirgeme

En büyük k tekil değer ve bunlara karşılık gelen sütunlar tutulup geri kalanlar atılırsa, orijinal matrisin bu boyuttaki en iyi yaklaşığı elde edilir. Buna kesik (truncated) SVD denir. Temel bileşenler analizi de pratikte çoğunlukla SVD ile hesaplanır.

Nerelerde kullanılır?

  • Öneri sistemleri: Kullanıcı-ürün puan tablosunu ayrıştırarak gizli zevk boyutlarını bulmak.
  • Metin analizi: Belge-kelime matrisinden gizli konuları çıkarmak (gizli anlamsal analiz).
  • Görüntü sıkıştırma: Bir görüntüyü daha az bileşenle yaklaşık olarak saklamak.
  • Gürültü azaltma: Küçük tekil değerleri atarak veriyi temizlemek.

Nelere dikkat etmeli?

  • Büyük matrislerde tam SVD hesaplaması pahalıdır; pratikte yaklaşık ve rastgeleleştirilmiş yöntemler kullanılır.
  • Kaç bileşen tutulacağı probleme bağlıdır.
  • Ortaya çıkan bileşenler her zaman sezgisel bir anlam taşımaz.

Sıkça Sorulan Sorular

SVD ile PCA arasındaki ilişki nedir?

PCA, ortalaması çıkarılmış veri matrisine SVD uygulanarak hesaplanabilir. SVD daha genel bir matris ayrışımıdır, PCA ise bunu varyans odaklı boyut indirgeme için kullanır.

Tekil değer ne demek?

Matrisin her bileşen yönünde veriyi ne kadar uzattığını gösteren negatif olmayan sayılardır. Büyük tekil değerler veride daha baskın yapılara karşılık gelir.

İlgili terimler

Temel Bileşenler Analizi(Principal Component Analysis)Temel bileşenler analizi (PCA), birbiriyle ilişkili çok sayıda değişkeni, verideki varyansı en çok koruyan ve birbirinden bağımsız (dik) yeni değişkenlere, yani temel bileşenlere dönüştüren doğrusal bir boyut indirgeme yöntemidir.Boyut İndirgeme(Dimensionality Reduction)Boyut indirgeme, çok sayıda özellik içeren bir veri setini, verideki önemli bilgiyi mümkün olduğunca koruyarak daha az sayıda değişkenle temsil etme işlemidir; görselleştirme, hız ve aşırı öğrenmeyi azaltma amacıyla kullanılır.Matris(Matrix)Matris, sayıların satır ve sütunlar hâlinde dikdörtgen bir tabloya dizilmiş biçimidir. Doğrusal cebirin temel nesnesidir ve yapay zekâda verileri, görüntüleri ve sinir ağı ağırlıklarını temsil etmek için kullanılır.Öneri Sistemi(Recommender System)Öneri sistemi (recommender system), kullanıcıların geçmiş davranışlarını, tercihlerini ve benzer kullanıcıların hareketlerini analiz ederek ilgilenebilecekleri ürün, film, şarkı, haber ya da içerikleri tahmin edip sunan yapay zekâ sistemidir.Doğrusal Cebir(Linear Algebra)Doğrusal cebir (lineer cebir), vektörler, matrisler, vektör uzayları ve doğrusal dönüşümlerle ilgilenen matematik dalıdır. Makine öğrenmesi ve derin öğrenmedeki hesaplamaların büyük bölümü doğrusal cebir işlemlerine dayanır.Ağırlık(Weight)Ağırlık (weight), yapay sinir ağlarında ve diğer makine öğrenmesi modellerinde her girdinin ya da bağlantının çıktıya ne kadar katkı yapacağını belirleyen ve eğitim sırasında veriden öğrenilen sayısal parametredir.